Lo adecuado es no suprimir la preposición de en la construcción darse cuenta de algo.

Sin embargo, no es raro encontrar en los medios de comunicación frases como «En el momento en el que el luso se dio cuenta que era él el sustituido, se le torció el gesto», «En la frontera, muchas se dieron cuenta que ya no era necesario cruzar a Estados Unidos» o «El propio tentador ya se daba cuenta que era una pregunta que no llevaba a ninguna parte».

La expresión darse cuenta de algo significa ‘advertirlo’ o ‘percatarse de ello’ y el complemento de esta locución verbal se introduce con la preposición de, aun en los casos en los que sigue la conjunción que, según señala el Diccionario panhispánico de dudas.

En consecuencia, en los ejemplos citados debería haberse escrito «En el momento en el que el luso se dio cuenta de que era él el sustituido, se le torció el gesto», «En la frontera, muchas se dieron cuenta de que ya no era necesario cruzar a Estados Unidos» y «El propio tentador ya se daba cuenta de que era una pregunta que no llevaba a ninguna parte».(FundéuRAE)