El verbo convencer es regular y se conjuga como el verbo vencer, de modo que lo adecuado es convenza, no convezca.

En los medios de comunicación es frecuente encontrar este verbo conjugado, de manera inapropiada, como el irregular agradecer: «La empresa está al borde del abismo, ya que no consigue sacar al mercado un móvil que convezca», «Su deseo es jugar su última temporada en España y las posibilidades de que Xavi lo convezca son pocas» o «Los jóvenes no podrían acceder a esas páginas a no ser que convezcan a sus padres de lo contrario». 

Según el Diccionario panhispánico de dudas, convencer, que significa ‘mover con razones a alguien para que crea o haga algo’, se conjuga igual que los verbos regulares terminados en -er: convenzo, convenza, convenzamos, etc.; por tanto, es inapropiado usar formas como convezco, convezca, convezcamos o convezcan.